B8 V.KOCH, DEN KONFORMA AFBILDN. AF EN PAUALOLOID PÅ ETT PLAN. 



• QX^'^^ K) _ nv H'(v + K', K') 

 ' ' Q(iv, K) ~ 2KK' "^ H(v + K\ K') ' 



Om man använder den LEGENDRE'ska relationen 



livaraf följer 



EK'+ E'K — KK' = ^, 



E E' A nv 



-7?+ -F^,— 1\V = 



,K^ K' j 2KK" 



erhåller man som uttryck för q 



g = 2V- /.3 1— g^ " - g(„ + g,, Jcj] (16) 



I dessa formler beteckna E', K' de fullständiga elliptiska 

 integralerna med modulen k"- — 1 — k'^ = *— r — - och H den Ja- 

 cobiska funktionen H, definierad genom 



iy(M, Ä ) = 2^<j . sin ^ - 2\g^ ■ sin ^^ + 2^(^20 . gm ^^ — . . . 



För att finna sambandet mellan w, r och x,t/,z, erinra 

 vi att 



= sin- (I = sin^ am (u, k) = sn- (?«, ä;) 



/il 



Följaktligen 



; 



= sn- (Ü', k) 



u 



men 



. sn (u, A;') 



sn (?r, A;) = i — p{ , 



^ en (v, A- ) 



således, om vi skrifva ip = am (v, k') 

 sin i^> = sn (v, /c') , 



/j = ;t< tg2 (/^ 



På grund af (5), (6), (7) erhållas sålunda 



') Ilättigheten att, 8;1som vi här gjort, ändra tecken, äfvensom att efter behag 

 lägga till eller draga ifrån konstanter från nttrycken för p och q, framgår 

 omedelbart af betydelsen af ;; och q. 



