192 v. KOCH, DEN KONFORMA AFBILDN. AF EN PARABOLOID PÅ ETT PLAN. 



För det förra slaget af krökningslinier gäller ekvationen 



A2 = konst. (23 a) 



för det senare slaget 



;, = konst. (23 b) 



Om vi nu önska afbilda vår paraboloid på ett sådant sätt 

 pä PQ-planet, att krökningslinierna (23 a) komma att afbildas 

 pä räta linier parallela med Q-axeln, och krökningslinierna (23 b) 

 på räta linier parallela med P-axeln, måste vi låta våra af- 

 bildningsfunktioner f^(P+ iQ) och /^(-P — iQ) vara lineära funk- 

 tioner af P + iQ och resp. P — iQ. För enkelhets skull låta vi 

 f\ — /j och sätta 



p + iq = P+iQ + A, 



der A betecknar en för ett ögonblick obestämd konstant. 



Kalla paraboloidens vertexF(se fig.l), dess snitt med .a?2-planet 

 BVE och dess snitt med xif-plauet FVG; låt A/ vara en godtycklig 

 punkt på paraboloiden, A^ dess bild i PQ-planet. Emot värde- 



ix = — co| (x = — <=o| 



paret Ao = O, A^ = + co svara |_y =0 / eller \y =0 /, be- 



roende på de begynnelsevärden vi gifva åt (p och \p. 



TT o 



Om cp = n och \p = — och om vi i uttrycket för z (pa grund 

 af (17)) 



--=±lcrK;i7TI7)-~^ 



välja det öfre tecknet framför rotmärket, så blir 



=: CO 



Om nu Åj varierar mellan + co och O under det att Ao för- 



blir konstant = O, sa varierar xp mellan och 0; cp förblir der- 



emot konstant — n och punkten M beskrifver således den del af 

 hufvudsnittet B V, som ligger mellan den oändligt aflägsna punkten 

 och en viss punkt C^', denna punkt, för hvilken således Aj och 

 A2 hafva sitt gemensamma gränsvärde, noll, är intet annat än 



