196 V.KOCH, DEN KONFORMA AFBILDN. AF EN PARABOLOID PÅ ETT PLAN. 



q) : O O - 



O 



O 

 O 



V- 



n 

 2 



u : 







v : 



K' 



P ■ 







q : 



+ CO 



P: 



+ 2E\'~X, 



Q- 



+ CO 



N: 



E' 



n 





n 



2 





2 







^ 



n 

 2 



K 





K 









K' 



lES- 



-h — 



1E\' 







+ 



oo 

















+ 



oo 







/V/ 



F' 



o 2/^7-/3 —2E\—l.^ 



O 



+ 2SV-X5 

 O 



c\ 



Således: När punkten M beskrifver vägen BCyVFVC^E ^h 

 beskrifver N samtidigt konturen B'C'JJF'OC\E'. 



Följaktligen blir hälften BVEF af vår elliptiska paraboloid 

 konformt af bildad på det inre af konturen B'C.^C'xE' i PQ- 

 planet. Men enligt en sats af Schwarz ') måste den funktion 

 ^ = X + iY af r] = P+iQ, som på ett sådant sätt af bildar 

 B'C\C\E' •) på den öfre hälften af ^-planet, att mot C"o, C\, 

 B' svara punkterna — 1 , + \ , 00 i ^"-planet, nödvändigt satis- 

 fiera differentialekvationen 



cl , dn 1 1 



lo2^ = 



di «4^ 2(§+l) 2(^--l)' 



dess integral är 



ri = c log (^ + \'W^^) + c 3) 



Om vi sätta — ^^ = r/ = P' + iQ' blir | = ^(e>i' + e->i') = 

 cosh r/ och således 



X^- sinh2 P' + r2 cosh2 P' == sinh2 P' cosh^ P' (25) 



Z2 sin2 Q' — y2 cos^ (^>' ^ gin^ Q' cos^ Q' (26) 



') Ueber einige Abbildungsnufgaben; Ckeij.k's Journal, Band 70. 



TT 7t 



-) Denna figur betrakta vi som en triangel med vinklarne -j , ^, O, hvnrs 



oäDdligt aflägsna spets är R' . 

 ') Iiitegrationskonstanterua c och (/ bestämmas af vilkoren att C\ och V 2 skola 

 motsvaras af — 1 och +1. 



