258 JONÖUIERE, NOTE SUR LA SERIE GÉNÉRALISÉ DE RIEMAK. 



En supposant que s est un nombre réel ou imaginaire quel- 

 conque je me suis proposé la question de savoir, s'il existe pour 

 la fonction plus generale C(s, x) une relation analogue å celle 

 que j'ai donnée pour des valeurs entieres et positives de la va- 

 riable s. 



II s'agit en premier Heu de définir la fonction l(s, .v) d'une 

 raaniere generale, c'est a dire pour des valeurs quelconques des 

 variables s et x. 



De l'equation connue 



J^ 1 



on déduira aisément: 



i 



~ Tis) J^ " "*- 





'Y • dz 



^ I {s) J e- — X 







Par cette équation, la fonction C(*', x) est bien définie pour 

 des valeurs quelconques de x, mais l'integrale n'a de sens que 

 si la partie reelle de s est positive. II faudra donc remplacer 

 cette integrale par une autre qui ne soit pas soumise a cette 

 restriction. 



— et supposons que le con- 



tour d'integration soit un lacet partant du point + oo et en- 

 tourant en sens direct le point sans enfermer aucun autre des 

 points critiques z = Ig x ± 2m' tt. En supposant pour le moment 

 que la partie reelle de s est positive, le contour d'integration 

 pourra etre réduit å deux droites, l'une allant de + co å et 

 l'autre de a + oo, et a un cercle de rayon infininient petit 

 entourant le point en sens direct. D'apres la supposition que 

 nous venous de faire, l'integrale prise le long du petit cercle sera 

 évidemraent nulle. La variable z qui en allant du point + oo 



