ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAU. FÖRHANDLINGAR 1 8 89, N:ü 5. 261 



lacet. — Le demi-cercle est supposé ne rencontrer aucun des 

 points Ig X + 2m7r. 



Fixous les deux extréniités du contour d'integration au point 

 — oo et resserrons ce contour en vertu du tliéoreme de Cauchy. 

 Il est aisé de voir que le contour pourra étre transformé en un 

 lacet partant du point — oo et entourant l'origine en sens direct, 

 et en deux courbes fermées entourant les points \gx + 2m;r 

 {ri = O, 1, 2, 3, . . .), l'une en sens direct, l'autre en sens inverse. 

 Ces deux courbes pourront de plus étre réduites å des cercles 

 infiniment petits autour des points critiques. Chacun de ces 

 points sera entouré de deux petits cercles parcourus en sens con- 

 traire. La variable z, en décrivant en sens inverse un cercle 

 autour du point \gx-\-1rin, aura un argument compris entré n 

 et 0; mais eile aura un argument situé entré 2n et Sti;, en dé- 

 rivant le meme cercle en sens direct. Cela résulte immédiate- 

 ment de ce que nous avons dit plus haut sur l'arguraent de la 

 variable z. Dans le premier cas on égalera ^ a Ig x + 2rin + A, 

 en désignant par h une grandeur infiniment petite, et dans le 

 second cas on posera z = e'^'--'(\g x + ^rirc + h). L'arguraent du 

 facteur \gx + 2ri7X + h est entré O et tt, et la variable h décrit 

 autour de l'origine un petit cercle, en sens inverse dans le pre- 

 mier cas, et en sens direct dans le second. 



/xz^ ' — ^ dz 

 e^ X 

 prise en sens inverse le long du petit cercle autour du point 

 ]gx + Irin est égale a — liTtiXg x + 2?'iVr)*-^. La méme inte- 

 grale prise en sens opposé devra étre égalée å 2^7^ • ^^'^^(Ig x + 

 Irirty—^. La somme de ces deux integrales est égale a 

 lin • e^n$^e^ns — e-^^')i\% x + 'Irin)'-^ — 



= — 47r • e*-"^ sin ns{\g x + 2n7r)''~^. 



Dans cette expression r prendra toutes les valeurs entiéres et 

 positives de zéro jusqu'ä l'infini. — En ajoutant au signe d'in- 

 tegration Findice r, j'indignerai que Tintégrale est prise le long 

 d'un lacet partant du point — oo et entourant l'origine en sens 



