262 JoxauiÉRE, note sur la serie généralisé de rieman. 



direct, en supposant que l'argument de la variable z varie de 

 TV å Stt. 



Nous pouvons enfin écrire 



I —^ = — 47r • e'^' • sin rvs • > (Ig a + Irirty-^ + I — 



i r=o r 



ou bien 



r = 00 



5(s, .1) = 2t sin ^s • r(l - ») ■ (2,W)— ■V i, IxV. -. + 



^('' + IF)' 



p—ins I v~s—'lf72: 



2i7c J ^^ — ^ 



v 



La somme qui entré dans cette équation est évidemment 

 convergente puisque la partie reelle de s est supposée étre néga- 



/ t)ß^^ — '^dz 



tive. En reraplagant z par e^'^ • z, Tintégrale 1^ se trans- 



J e^ a; 



v 



ixz^~^dz 

 former a en e'7r(s— iji z:^ \^ nonvelle variable z décrivant 



J •'?' — e~-' 

 le lacet désigné par l'indice /. 

 On aura donc: 



a^%^^) 



{2i7Ty \^ 1 r{\ — s) ixz'-Hz 



r = \ 2l7TJ 



r{s) /jirA-^Ä^X^' 2^■7^ J^r — e 



o—z 



Oj 



Développons — snivant les puissances ascendantes de 



, en supposant pour le moment x plus grand que toutes les 



valeurs que puisse prendre e~~. Nous aurons: 



[xz^~'^dz 



-. fz^-^ .y ^-^ . dz = \ -■ A— ^^ 



■Hz 



L'integrale jpJ-^dz est nulle puisque Ton peut étendre le 

 contour d'integration jusqu'a l'horizon et l'integrale prise le long 



