264 JONaUIERE, NOTE SUR LA SERIE GÉNÉR.O.ISÉ DE RIEMAN. 



tive. J'ai préféré démontrer directement la relation (4), en sui- 

 vant la marche qui m'y a conduit la premiére fois. 



Si Ton compare les deux équations (1) et (4), on est tenté 

 de soup(;onner, quil y a une certaine liaison entré la fonction 



Ig^^ 



s,^^\ définie pour des valeurs entieres et positives de s, et 



la somme — -r.— • \ -, , — vt — Qui nest convergente que si 



la partie reelle de s est negative. Il y a lieu de présumer qu'il 

 existe une fonction de ä et de a, comprenant comme cas parti- 

 culier d'une part cette serie et d'autre part la fonction connue 

 sous le nom de Bernoulli. 



En effet, considérons la somme > r-. En profitant 



/■ = 



CO 



de réquation r(s) = (r + .v)' J €-'''' + ■'">'• z'-'^dz nous pourrons 



ecrire : 



2^(r + .vy - r(s) • j ' '" '' 'Xj' "^^^ - r{s) j\ 



-'^'z'-'^dz 



= o /•=o o 



Pour que Tintégrale soit convergente, il faut supposer que 

 la partie reelle de x est positive, et en outre la partie reelle de 

 Ä doit étre plus grande que Tunité. Mais a ces conditions il est 



-^j — - — ^77- , prise le long d'un 



i 

 lacet partant du point + co et entourant l'origine en sens direct, 



00 



i e~^'- z^~^dz 

 est égale a 'li&m7ts • e^^^\-^ :3^. Nous pourrons donc 



o 



00 



Ce-''^ ' z'-'^dz e-^"' Ce-'^^z'-^dz 



remplacer I — = par ^r,—. I —^ , et cette 



J \ — e~'^ 2^ sin res J 1 — e— ' 



o i 



derniére integrale s'appliquera a des valeurs quelconques de .s. 

 Rerapla^ons encore z par é'^ • z. Le lacet désigné par l'indice / 



