266 JONQUIERE, NOTE SUR LA SERIE GÉNÉRALISÉE DE RIEMAN. 





et réquation (4) se transforme en 



'C(s, X) + é-^ .t[s^-^ = - er. (2^y. j,|,, ||| (5) 



resultat qui comprend comme cas particulier la relation (1). 



La fonction généralisée de Bernoulli ^(s, .«) me semble 

 meriter d'etre étiidiée plus spécialement. Pour le moment je ne 

 puis en indiquer que les propriétés suivantes: 



La dérivée par rapport å .v de la fonction y()s, x) est aussi 

 une fonction de Bernoulli. Il est tres facile de voir que 



relation quie était bien connue pour des valeurs entiéres et po- 

 sitives de s. 



Considérons de plus la fonction 



1 Ce^^---^)' . z~'dz 



^(^'l-') = 2L-J 



e^ — 1 



L 



en supposant pour le moment que la partie reelle de .v est entré 

 O et + L 



Si la partie reelle ,de s est essentiellement positive, Tinté- 

 grale prise le long de l'horizon sera nulle et nous pourrous ajouter 

 au lacet L la partie de l'horizon située au dessous de Taxe réel 

 de la maniére indiquee par la tigure 2. 



La variable z part du point + 00, parcourt un demi-cercle 

 de rayon intiniment grand situé au dessous de Taxe réel, décrit 

 le lacet L et revient par le méme demi-cercle a + 00. L'argu- 

 ment de z commence par O, diminue jusqu'a — tt et augmente 

 ensuite jusqu'a 27r. 



En fixant les deux extrémités de ce contour et en le res- 

 serrant en vertu du théor.éme de Cauchy, il est facile de voir 

 que le contour pourra étre transformé en un lacet (1) et en deux 



