416 MITTAG-LEFFLEE, INTEGRALERNA TILL EN LINEAR HOMOG. DIFF.-EaV. 



härefter hvarje värdepar qS^ af ett enda bestämdt värde på in- 

 tegralen. 



Enligt den bekanta satsen af Lagrange kan hvarje integral 

 till differentialeqvationen (1) uttryckas som en linear homogen 

 funktion med konstanta koefficienter af andra integraler y^y^' • • 

 yn , om dessa sednare blott tillsammans utgöra ett fundamental- 

 system. Fuchs har i sin berömda afhandling i 66:te bandet af 

 Grelles JournaP) uppvisat, huru man alltid kan välja funda- 

 mentalsysteraet y^ y-i - • • Vn P^ sådant sätt, att samtliga de vär- 

 den, som integralen ?/,„ (m = 1,2,... n) inom cirkelringen C er- 

 häller, kunna framställas genom ett gemensamt analytiskt uttryck, 

 som har formen 



'=^'""' [/»o(^^') + /nl(^) log SC + f.„,^{x) (l0g^)2 + . . . + fmvX«^) (log A')""'], 



der [i,n betyda vissa af x oberoende qvantiteter, samt fm(i{x). 

 fm\{^)i • • 'fmvS^v) äro potensserier, hvilka fortskrida efter hela 

 positiva och negativa potenser af x. För qvantiteterna f.i^ kan 

 man visserligen enligt FucHS^), Hamburger 3) och Poincaré*) 

 framställa analytiska uttryck, hvilka äro gifna i de konstanter, 

 som ingå uti differentialeqvationernas koefficienter. Men för 

 koefficienterna för de olika potenserna af x uti serierna /moC-^Oi 

 fm\{so) . . . fmvmi^) l'i^'i' nian deremot endast för det speciella fall, 

 att de negativa potenserna förekomma endast till ändligt antal, 

 lyckats framställa analytiska uttryck, hvilka äro gifna uti dilFe- 

 rentialeqvationens konstanter^). FUCHS' teorem innebär således. 



') »Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coef- 

 ficienten». Cf. för definitionen af fuiidamentalsystem pag. 126. 



^) »Ueber die Darstellung der Functionen complexer Variabein, insbesondere 

 der Integrale linearer Differentialgleichungen». Borchakdt's .Journal. Bd. 75. 



') »Ueber ein Priucip zur Darstellung des Verhaltens mehrdeutiger Functionen 

 einer complexen Variabeln, insbesondere der Integrale linearer Differential- 

 gleichungen in der Umgebung singulärer Panlcte». Borchakdt's Journal. Bd. 83. 

 »Ueber die Wurzeln der Fundamentalgleichung, die zu einem singulären 

 Punkte einer linearen Differentialgleichung gehört». Borchakdt's Journal. 

 Bd. 84. 



■*) »Sur les groupes des équations linéaires». Acta Matheniatica. T. 4. pag. 211. 



*) Fuchs. »Zur Theorie etc.» Frobenius. »Ueber die Integration der linearen 

 Differentialgleichungen durch Reihen.» Borchakdt's Journal. Bd. 76. 



