ÖFVEKSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1889, N:C) 7. 417 



att mot hvarje integral alltid svarar ett analytiskt uttryck af 

 den form, som nyss blifvit angifven, och hvilket för hvarje värde- 

 par ^,'1, som tillhör ett ställe x inom C, framställer integralens 

 motsvarande värde. Men genom detta teorem löses deremot icke 

 problemet att verkligen framställa det ifrågavarande analytiska 

 uttrycket, eller med andra ord att bilda detta uttrycks olika 

 koefficienter utaf de konstanter, som ingå uti difFerentialeqva- 

 tionen. 



Jag vill i denna uppsats visa, huru man alltid kan bilda 

 ett annat analytiskt uttryck, hvilket icke drabbas af samma 

 anmärkning, som det af FucHS angifna, I likhet med FUCHS' 

 uttryck framställer detsamma integralens värde för hvarje värde- 

 par Qd^ som tillhör en punkt inom C, men samtliga i uttrycket 

 ingående koefficienter kunna dessutom alltid analytiskt fram- 

 ställas uti diß"erentialeqvationens konstanter. 



Låt Xq vara en punkt hvilken som helst inom C. Sam- 

 manbind Xq med origo samt välj på förbindningslinien tvänne 

 punkter Xy^ och -^2 "" l-^i I < l-^sl — ' hvilka båda tillhöra C, och 

 för hvilka 



XQ = yxyX^. (2) 



Sätt 

 Man har då 



(3) 



ph 



A'j — x^e 

 hvarvid h är en positiv qvantitet 



-., (4) 



I — ^'^(f 



>^t- (S) 



Låt oss med X beteckna den cirkelring, som är begränsad 

 af de båda cirklar, som ha origo till medelpunkt och \x^\ samt 

 \x^\ till radier. Relationen (3) förmedlar af bildningen af denna 

 cirkelring på en parallelstrimma K i 2;-planet, hvilken är belägen 

 mellan tvänne linier, som äro vinkelräta mot den reella axeln 

 och belägna på afstånden h och — h från origo. Afbildningen 



