420 inTTAG-LEFFLER, INTE&RALERNA TILL EN LINEAR HOMOG. DIFf .-EaV. 



närmaste omgifningen af det genom värdeparet Qq^-q bestämda 

 stället ^0 



och man har således i närmaste omgifningen a.f t ^ O, 



m = V{^^0 



2A 



Då denna serie är likformigt konvergent för en tillräckligt liten 

 omgifning af ^ = O, kan densamma på grund af ett teorem af 

 Weierstrass 1) förvandlas i en potensserie, hvilken fortskrider 

 efter positiva hela potenser af t, samt konvergerar åtminstone 

 inom närmaste omgifningen af i = 0. Denna serie måste åter 

 vara identisk med den serieutveckling efter t, P(t), hvars till- 

 varo vi nyss bevisat, och som konvergerar för |i| < 1. Koeffi-- 

 cienterna till serien P{t) kunna således på ett enkelt sätt ut- 

 tryckas i koefficienterna för serien fß(.x — Xq). 



I vårt fall är f{.v) integralen till diiferentialeqvationen (1) 

 och koefficienterna till p(x — .Vq) äro derföre omedelbart gifna 

 i diff"erentialeqvationens konstanter. Låt oss tänka oss difl"eren- 

 tialeqvationen (1) skrifven under formen 



^„(.■)g; + P,(^)£3 + . ■ • + ^.-.(*-)|+ P.(-)-y = 0. (8) 



Man erhåller då: 



^^n + v pv + l d^n-l + pv + \ d'C'J-S 



G^'^-'XPF' . . . P('')) dv G^'^-^PP' . . . PC')) 



_(_ 1 _ hl -I U . 



P''+i dx p''+i "^ 



■'o o 



> (9) 



Funktionerna G äro hela heltaliga funktioner af dimensionen 

 )' + 1 utaf Pq P^ . . . Pn samt dessa funktioners derivator intill 

 den v:te. 



Vi välja nu ett fuudamentalsystem integraler y^ . • • ?/« på 

 sådant sätt, att mot värdeparet ()o^„ — x^^ = QqS^^o — svara : 



') Vide: Pag. 73 uti »Zur Fuuctionenlehre». Abhandlungen aus der Functionen- 

 lehre. Berlin 1886. 



