434 MITTAG-LEFFLEE,, INVARIANTERKA TILL EN LIN. HOMOG. DIFF.-EaV. 



Funktionerna 



ipl^'X^^o)' ''^ = 1, 2, . . . n; r = 0, 1, 2, . . . 



'f^Ml 1^1 = 1,2,... n; 1^ = 0,1,2,... 



äro bildade genom addition och multiplikation af koefficienterna 



till differentialeqvationen (1) pj(,.'?;o),p2G''^o)' • • •'^«(''''o)' af dessa 



koefficienters derivator samt af .«„ ocli — . och vissa rationella 



m 



tal (ef. formeln (19) i föregående uppsats). Om således p^(Xf^), 

 P2(.??o)' • • -^pni^^o) ^^^' cirkelringen C uttryckas i potensserier, hvilka 

 fortskrida efter positiva och negativa potenser af .x^, så erhållas 

 härmed äfven »/^"„^"(a'o) ^^^^ ''^'{(•^o) uttryckta i dylika serier. 



Låt nu Aq vara öfre gränsen för h, då Xq rör sig inom Xq 

 samt välj 



0< /ij < /i < ^0- 

 Sätt vidare 





1 





e 



'>i 



M,= 

















7r2 





1 



+ 



e 



7f2 





1 







e 



A 



H. = 















_^=-^o (ef- (10)). 

 I + e " 



Man har 



1 > i?, > Ä> 0. 



Om man nu låter x^ genomlöpa alla värden, hvilka tillhöra 

 cirkelringen Xq och låter t genomlöpa alla värden |^|^i?], så 

 finnes härvid en viss ändlig öfre gräns för absoluta beloppen för 

 koefficienterna till den i t transformerade lineära homogena dif- 

 ferentialeqvationen (1). Häraf samt af den procedur, hvilken 

 Weierstrass 1) samt Briot och Bouq,uet-) begagnat för att 

 bevisa konvergensen af serierna: 



') Weierstrass. »Ueber die Theorie der jinalytischeu Facultäten». Crellks 

 journal. Bd. 51, pag. 43, samt 



Sophie von Kowalevski. »Zur Theorie der partiellen Differentialglei- 

 chungen. Einleitung.» Bokchardts Journal. Bd. 80. 



^) Briot et Bouquet. »Recberches sur les propriétés des fonctions définies par 

 des équations différentielles.» Deuxiéme memoire. Journal de l'ecole poly- 

 techüique. Cuhier 36 (Tome 21) pages 133 sqq. 



