436 MITTAG-LEFFLER, INVARIANTERNA TILL EN LIN. HOMOG. DIFF.-ECIV. 



00 



Vuito)=^%o-<' ^' = l,2,...n. (21) 



Detta är det ena af de båda uttryck, hvilket vi för inva- 

 rianterna ville härleda. Det innehåller icke längre :Cq, som PoiN- 

 CARE's uttryck, men innehåller deremot fortfarande den mellan 

 vissa gränser arbiträra positiva qvantiteten A, af hvilken inva- 

 rianterna äro oberoende. Koefficienterna ^']^ (i.i — 1, 2, . . . 7i; 

 r = O, 1, 2, . . .) äro hela rationella i h och för ^^ har man ut- 

 trycket: 



_7£2 



e /' — I 



t. = 



7r2 



Qvantiteten k sjelf är positiv och belägen mellan gränserna 



0<A^^log^ (ef. 4), (22) 



der Qi är radien för den inre och ^2 i'adien för den yttre be- 

 gränsningscirkeln till C. 



Antag att koefficienterna till differentialeqvationen (I) äro 

 rationella i ,v, så att densamma erhåller formen 



dx- ^ P^{x) ' dx-^-^ ^ P^{x) cZa'«-2 ^ • • • ^ p^(^) y ' ^ >' 

 der 



P^{x) = (x — ai)*i (x — a^)i^ . . . {x — ap)'i^ | 



och >(23) 



Pr{x) = ArO + AriX + A,.2^V- + . . . + Arp,xP'- ; /-= 1, 2, . . . W.J 



Låt vidare koefficienterna i/^'|j^'(-*'o) ("^ = 1, 2, ... 71; j- = O, 

 1,2,...) uti uttrycken (14) för substitutionskoefficienterna vara 

 direkt uttryckta uti Pq(x), P^(x), . . ., P,j(a') och deras derivator, 

 i stället för som i det allmänna fallet i de LAURENT'ska seri- 

 erna för ~^-L J^; i , ..., ^j^~( för cirkelringen X Funktionerna 

 Pq{x) P^(x) Pq(x) 



ip^l^^i^o) äro då heltaliga rationella funktioner af Xq, ccy,. . .,ap 



