ÖPVERSIGT AF K. VETBNSK.-AKAÜ. FÖRHANÜLINOAK 188 9, N:0 7. 437 



samt Arcj (r = 1, 2, . . . n; q = 0, 1,2, ... p,.) ocli af qvoten af 

 den mellan vissa gränser obestämda positiva qvantiteten h och 

 talet ni, hvilka äro hela uti A, .q (o' = 1,2, . . . n; q = 0,1,2, 



...»,.) och — : . 



Om man nu bildar koefficienterna 'F''^(.7'„) (ji = 1,2, . . .n; 

 v — O, 1, 2, . . .) uti uttrycken (18) för substitutionsinvarianterna, 

 så bli dessa likaledes heltaliga rationella funktioner af .t?^ , a^, ..., cip 



samt Ära och — ■., hvilka äro hela uti A,.,, och — :. Koefficien- 



m 7ii 



terna W^^^ {f-i = \,2, . . .n; v = 0,1,2 . ..) uti uttrycken (21) 

 för substitutionsinvarianterna äro den konstanta termen uti ut- 

 vecklingen af ''P^(jjCq) uti en potensserie, hvilken fortskrider efter 

 hela positiva och negativa potenser af x^. Desamma äro så- 

 ledes heltaliga rationella funktioner af ^t^^, «j, . . ., cip samt Arq och 



— :, hvilka äro hela uti Ayr, samt — : . 

 ni TU 



Det är icke svårt att visa, att serierna (14) och (21) för 

 hvarje ändligt område af Ar^ (r = 1,2, ... n; q = 0,l,2, . . .p,.) 

 äro likformigt konvergenta, och desamma kunna således skrifvas 

 som potensserier, hvilka fortskrida efter hela positiva potenser 

 af både qvantiteten ^^ samt af dessa sistnämda qvantiteter, i af- 

 seende på hvilka serierna äro beständigt konvergenta'). Koeffi- 

 cienterna till dessa potensserier i ^„ och i Arq äro vid substitu- 

 tionskoefficienterna heltaliga rationella funktioner af a'^, a^, . . ., a^ 



och — :, som äro hela uti — ;, och vid invarianterna heltaliga ra- 

 m m 



tionella funktioner af a, , . . . , a„ och — r , som äro hela uti — - . 



nt m 



Vi ha således bland annat erhållit följande teorem: 



yLéåt uti x-planet X vara en gifven cirkehing, hvilken har 

 origo till medelpunkt, och icke innehåller något singulärt ställe 

 till den lineära homogena differentialeqvationen (V). 



') Cf. PoiNCARÉ. »Sur les groupes etc.» § 3. 



