438 MITTAG-LEFFLER, INVARIANTERNA TILL EN LIN. HOMOG. DIFF.-EaV. 



Substitutionsinvarianterna för de substitutioiier, som erhållas, 

 då den oberoende variabeln a; en gång i samma led genomlöper 

 en sluten linie, Jivilken icke skär sig sjelf och hvilken innesluter 

 samma samt utesheter samma singulära ställen, som cirkelbandet 

 X, kunna alltid framställas som potensserier, hvilka fortskrida 

 efter hela positiva potenser af koe^cienterna 



Arg ; 5' = 1, 2, . . . n; g = O, 1, 2, . . . p, 



samt af 



_!£! 

 _e ^—\ 



^0 — ~^^^ ' 



e ^ +\ 



der h är en mellan gränserna (22) godtycklig positiv qvantitet. 



Dessa potensserier äro beständigt konvergenta uti A,.q. Koef- 

 ficienterna till desamma äro heltaliga rationella funktioner af 



a,,...,apSa7nt — r, hvilka äro hela uti — ;. Invarianterna, som 

 ni ni 



äro lika med summan af potensserierna, äro oberoende af valet 



af den positiva qvantiteten h mellan gixlnserna (22).» 



Vi gå nu att härleda vårt andra uttryck för invarianterna. 

 Låt A'(j vara en punkt, hvilken som helst inom C, och inför i 

 difFerentialeqvationen (1), i stället tor den oberoende variabeln x 



X = x^e:". (24) 



Låt vidare n^ij, x^, u^{%, x^), . . ., M„(r, x^) vara ett fundainen- 

 talsystem integraler till den i r transformerade difFerentialeqva- 

 tionen (1), för hvilka, för z; = O 



— - — = u ; v^n — m, v ^n — 1 ; — ; = 1 . ( -^ö ) 



dl-" . -< ' ' dl"-"' ^ ^ 



Dessa integraler framställas för närmaste omgifningen af t — O 

 genom potensserierna 



lU^, ^ro) = ^4- + VyTM j5'^, ; ■>n==l,2,...n. (26) 



\n — m 



