677 



Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1889. N:o 10. 



Stockholm. 



Meddelanden från Stockholms Högskola. N:o 96. 



Bevis för några teorem af Poincaré. 

 Af Frans de Brun. 



[Meddeladt den 11 December 1889 genom G. Mittag-Leffler.] 



yz + å 



afbildar såsom bekant en cirkel på en cirkel. Med den genera- 

 liserade Substitutionen förstås den Substitution, som afbildar en 

 sfär med den förra cirkeln till storcirkel på en sfär, som har 

 den senare cirkeln till storcirkel. 



En punkt i rymden är till sitt läge bestämd: l:o) genom 

 sin höjd C öfver ett fixt plan, 2:o) genom den projicierade punk- 

 tens läge i detta plan. Detta fixa plan taga vi till .27?/- plan, 

 hvadan punktens läge i detsamma uttryckes genom komplexen 



z = a; + iy 



En punkt i rymden kan ock bestämmas af sitt absoluta 

 afstånd q från origo och genom läget hos den i .2;?/-planet proji- 

 cierade punkten, hvilket uttryckes genom komplexen z. 



Om vi på punkten (Cz) utföra den generaliserade Substitu- 

 tionen, öfvergår den uti en annan punkt i rymden {u'z'). 



När punkten (iz) beskrifver en viss linie 1. yta, beskrifver 

 {l'z') likaledes en viss linie 1. yta. 



Låt ds, did och dv betyda båg-, yt- och volymelementen 

 för den linie och yta, som beskrifves af (Cz), samt ds', dco' och 

 dv' motsvariga qvantiteter för den linie och yta, som beskrifves 

 af (Jl,'z'). Då är 



