680 DE BRUN, BEVIS FÖR NÅGRA TEOREMER AF POINCARÉ. 



Vidare är 



~ W- ! 



\ (5) 



, _ Jf, [yKdv — yK'^dz + K\lz^ 

 dz Q — ^2 



Af (5) i förening med öfversta relationen i (2) erhålles 

 dz'dz'^ _ [y^K^,dv + K^Mz — y^K''dz^'\ ' [yKdv — yK^dz + K^dz^ 



~ 7)272 ■ [yyo^^o^^^ + yKK^^dväz — yy^f-L.'^KdvdzQ + 



+ K^-K^^dzdz^ — y^yK^K^dvdz + y^K'^K^^dvdz^ + 



+ yWl'dzdz, - l^WKUz-^ - yVK.hlz-^} ^ (6) 



Addera (4) och (6), så får man 



ds'^ ^ di;"' + dz'dz 'Q^dt^ [K'^K^-^ + 2KK^yyjr- + yh'^X^^dzdz^^ 



C'2 ~ r^ ~ ^2 + Q2^2 



d'Q^ dzdz^ ds^ 



^^ ~p2~ "^ F2~ ^^ ~^ 



Således är åtminstone numeriskt 



ds' ds 

 s' s 



Härmed är första teoremet bevisadt. 



§2. 



y)da\' d(x))) 



r'2 ~^ ' 



Systemet 



X = f{uv) ] 



z = Ifj (liv) 



framställer eqvationen för en yta. 



