682 DE BRUN, BEVIS FÖR NÅGRA TEOREM AF POINCARÉ. 



^^dy dz dy dz 

 B = 



^ dx dy dx dy 

 du dv dv du 



du 



dv 



dv 



du 



dz 



dx 



dz 



dx 



du 



dv 



dv 



du 



Således är 



t/w2 = (^2 + ^2 + (72) ^1^2 ^y2 (2) 



När (^z) beskrifver ytan (1), antaga vi, att (Vz) beskrifver ytan 



X=F(uv) 



Y=(D(uv)^ (3) 



Z= W{uv)] 



Sätt 



der 



u = X 

 v =y 

 diu"- = (^'2 + ^'2 + C'2) dx^' dy\ 



d_Y dZ _dY dZ\ 



dx dy dy dx 



dZ_ dX_dZ dX 



dx dy dy dx i 



dX dY_dX dv] 



dx dy dy dx j 



A' 

 B = 



C"- 



(4) 



(5) 



,För 



blir 

 der 



{y =v 



[ z = 1^l(uv) 



dcü''- = (l+p^ + q'^)dx^dy'^. 



P = 



dz 

 dx 



<1 = 



dz 

 Jy 



(6) 



Af (5) § 1 följer, om vi insätta %dL, i stället för dv och 

 X+iY i stället för z' : 



