346 Rudio, über den Cauchy’'schen Fundamentalsatz 
Es möge nun bei dieser Wanderung von z der Quotient 
Fr beim Verschwinden k, mal vom Positiven zum Nega- 
tiven und k, mal vom Negativen zum Positiven über- 
gehen. Dann sagt der Cauchy’sche Satz: 
Die Differenz k,—k,, welche man den Excess 
nennt, ist allemal positiv und doppelt so gross 
als die Anzahl der im Innern des umlaufenen 
Flächenstückes @ befindlichen Wurzeln der alge- 
braischen Gleichung f (@) = 0. 
Zum Beweise zeigt man zunächst, dass, wenn der 
Satz für zwei längs eines gemeinsamen Linienstückes zu- 
sammenstossende Gebiete gilt, er auch für das durch Ent- 
fernung dieses gemeinsamen Stückes entstehende Gesamt- 
gebiet besteht; woraus sich dann sofort ergibt, dass der 
Cauchy’sche Satz für das ursprüngliche Flächengebiet @ 
sicherlich dann als erwiesen angesehen werden darf, wenn 
man dasselbe derart in Teilgebiete zerlegen kann, dass 
für jedes derselben der Satz gültig ist. Nun lassen sich 
zunächst um die in dem Gebiete @ etwa vorhandenen 
Wurzelpunkte der Gleichung f (2) — 0 Kreise &; be- 
schreiben, von denen keine zwei einander schneiden und 
welche überdies so klein sind, dass im Innern und auf 
der Peripherie eines jeden derselben jeweilen kein zweiter 
Wurzelpunkt auftritt. Für jede dieser Kreisflächen kann 
man dann leicht den Cauchy’schen Satz beweisen. a 
Das nach Ausschluss dieser kleinen Kreisflächen Ki : 
von dem gegebenen Flächenstücke @ übrig bleibende Ge E 
biet @ enthält jetzt keine Wurzelpunkte mehr. % 
Von diesem Gebiete G’ wird nun bei den üblichen 
Beweisen (s. Serret pag. 105-106) behauptet, es könne 
stets in Teilgebiete @,', @,', . . , zerlegt werden zn 
folgender Beschaffenheit: 
