DU PRINCIPE DE LA DIFFÉRENTIATION. 63 



17. Au reste on pourrait demander où est -la démons- 

 tration , où même est la nécessite' : je dis plus , où est la 

 possibilité que tous ces points soient si parfaitement , si 

 mathe'matiquement de même nature ? Certes à l'extrémité 

 du contact, la courbe se détache de la tangente; son élé- 

 ment contigu y forme donc un angle avec cette même 

 tangente ; et conséquemment aussi avec l'élément précédent 

 c[ui n'est qu'un avec celui de celle-ci formant le contact. 



Je prends pour exemple la formule générale 2^ de la 

 sous - tangente de la parabole concave, dont l'équation est 

 j-^px. Sans doute, quelque valeur que j'attribue 1a. x ^ \q 

 trouverai une valeur réelle correspondante q.x pour la sous- 

 tangente en ce point de la courbe. Voilà donc une preu- 

 ve , me dira-t-on , c[ue tous les points de cette courbe 

 sont propres à former un point de contact. Je conviens 

 qu'il paraît d'abord difficile de se refuser à cette preuve , 

 et encore plus de la réfuter, tant eUe est spécieuse. Mais 

 ne craignons pas de la sonder profondément, et nous ver- 

 rons bientôt qu'elle n'est que cela. 



En effet, tant que cette courbe n'est donnée que par 

 son équation , nous sommes loin de la connaître indivi- 

 duellement : nous savons seulement à quelle famille elle 

 appartient. Ainsi si nous en décrivons une quelconque , 

 par exemple celle ACE et que nous joignions les deux figure iv. 

 points A, E, par la ligne AE, cette même équation dési- 

 gnera également toutes celles AFD à l'infini cju'on peut 

 décrire de la même origine A. Et comme toutes les para- 

 boles sont semblables entr'elles , il sera vrai de dire que 

 les différens arcs ACE, AFD, qui se terminent à la li- 



