DU PRINCIPE DE LA DIFFÉRENTIATION. 79 



ordre, d'abord par x, et puis par y, on parviendra aux 

 quatre re'sultats suivans (R') 



dJ /dz\' /dJ àB\ dz . dB 



da.=^' 



)'" dx' dz \dx) \dx dzj dx 



,\ . d^ z dJl dz dz dJ dz dB dz , dB 



r )... A -T — i 1- -j 5— T H-j ; — H -j — -\ H -5 — ^=0; 



■/ doîd^ dz dx dj dj àx dz aj ûj 



N . d'z d^ dz dz d^dz de dz . dC 



y dj-dx dz dj" dx dx djy dz ûx ax 



„A ^ d^z dJ /dz\' /dJ dC\dz . dC 



O-^-dT^-^-drCdr) -*"(d7 +d7;d7-^ dj-^' 



qui, si on multiplie ceux r et r" par d.r, et ceux r' et r " 

 par dj , et qu'on en prenne la somme, donneront exacte- 

 ment dans la même hypothèse, la différentielle de l'équa- 

 tion R. Il s'agit donc de faire voir que tant que R sera 

 elle-même une différentielle exacte ou complète , les deux 

 équations partielles r' et r" coïncideront et se confondront 

 en une seule. Or pour cela il suffira d'observer que les 

 deux premiers termes leur sont communs ; que de plus , 



la condition d'intégrabilité de R exige que -j — = ~TT' 



dA àB ^ ^ dC dB , , . 1 



-5 — = -J — ? et enhn crue -; — = ^i — : valeurs dont la 

 a X a z ^ dx dj 



substitution convenable effectuée dans l'une ou dans l'au- 

 tre de ces deux équations, les rendra parfaitement identi- 

 ques entr'elles. Mais on voit en même-temps que cette 

 identité dépend entièrement de cette condition de l'inté- 

 grabilité de l'équation R de l'ordre inférieur, sur laquelle 



