DES POLYGONES SPHÉRIQUES. m 



10. Soit donc sur une sphère un polygone forme' par 

 des arcs convexes seulement : repre'sentons sa surface par 

 la lettre X , et concevons par chacun des sommets A , A' , 

 A", etc. de ce polygone des arcs de grands cercles; nous 

 formerons un nouveau polygone dont l'aire , repre'sente'e 

 par la lettre Y , étant diminuée de la somme des aires 

 des onglets A A', A A", etc. vaudra X l'aire du polygone 

 inte'rieur, qu'il s'agit de déterminer. 



Or, la Géométrie élémentaire nous donne pour valeur de 

 l'aire d'un polygone , formé par des arcs de grands cercles 

 en nombre n , 



Y = A + A' + A" + A" + etc. — .^ /î + 4 ; 



et nous aurons successivement pour valeur de chaque on- 



glet (§ 5) 



A A = 2 — 2.p — V.d 

 A A" =2 — 2/;' — V!d' 

 A"A"'= 2 — 2/?" — V!'d" 

 etc. 



S, la somme des aires de ces onglets en nombre n, sera 

 conséquemment , 



S = 2;^ — a.p — 2,p' — 2/?" — etc. — P.^ — V.'d' — P."^" — etc. 



d'où l'on obtient pour la valeur de l'aire du polygone , qu'il 

 fallait déterminer, 



X=4 — 4'^ + A + A' + A"+ etc. H- 2/? + ap + ap" + etc. + 

 V.d+^:d' + V:'d" + etc. (4) 



