112 SUR LA MESURE DES AIRES 



I r . Simplifions maintenant ce re'sultat ; et poui' cela re- 

 marquons que 



l\n — A — A' — A" — etc. — o.p — 2/?' — 2/?" — etc. = 

 « + a' + a" + etc. 



les lettres a, a', «" etc. repre'sentent les angles entre les pôles 

 correspondans aux angles aux sommets A, A', A", etc. 

 mais, comme nous l'avons déjà remarqué dans le paragra- 

 phe précédent, autour de chaque rayon qui passe par un 

 des sommets du polygone , nous avons quatre angles , sa- 

 voir un angle au sommet A, par exemple, avec les deux 

 angles opposés aux pôles p et /»', et l'angle « entre les pôles 

 lesquels valent en somme 4 droits. D'après ces considéra- 

 tions, il est aisé de voir qu'autour des n sommets du po- 

 lygone on aura 



[\n — A — A' — A" — etc. — ip — ù.p' — 2p" — etc. == 

 « + a' + a" + etc. 



ce qui nous donne , après la substitution dans la formule 

 ( 4 ) , la formule générale 



X = 4 — « — «' — «" — «'" — etc. + P. ^ + P.W + P."c?" + etc. (5) 



qu'on pourra énoncer de la manière suivante : 



L'aire d'un polygone , formé sur une sphère par des arcs 

 convexes seulement , 'vaut l'excès de quatre droits sur la 

 somme des angles ejitre les pôles, plus la somme des an- 

 gles aux pôles , multipliés chacun par la distance respec- 

 tive de la section au centre de la sphère. 



