ii4 SUR LA MESURE DES AIRES 



A — p — p = a. 



A' — p' — p" =: a 



A"— /?" — /"= a", 



etc. 



Parce que les deux angles opposés aux pôles sont construits 

 ici dans l'intérieur même de l'angle au sommet ; il faut 

 bien remarquer cependant que l'angle entre les pôles peut 

 varier de signe et devenir négatif dans la formule, quand 

 l'angle au sommet est moindre que la somme des deux 

 angles opposés aux pôles; par exemple, dans le polygone 

 Figure II. ^ ^ ^ " ^'" ^ jgg angles a , a' , a" seront positifs , mais l'angle 

 entre les pôles a'" sei^a négatif , parce qu'on a A A"' A" < 

 AA"'P + A"A"P" ou bien A" </? +j»"'. Ainsi nous poserons 

 généralement : 



X = 4 + « + «'+ a" + etc. — V.d — '9!d' — V"d" — etc. ( 7 ). 



C'est-à-dire que l'aire d'un polygone , formé sur une 

 sphère par des arcs concaves seulement , vaut quatre 'droits, 

 plus la somme des angles entre les pâles, moins la somme 

 des angles aux pâles, multipliés chacun par la distance 

 respective de la section au centre de la sphère. 



i3. Il nous reste à chercher quelle est la valeur de 

 l'aire d'un polygone sphérique , formé par des arcs con- 

 vexes et par des arcs concaves en même - temps. Or , il 

 suffira d'examiner pour cela le changement qu'introduit 

 dans les deux formules ( 5 ) et ( 7 ) , trouvées précédem- 

 ment , un arc qui deviendrait concave tandis que tous 

 les autres seraient convexes , ou réciproquement. Car ces 



