DES POLYGONES SPHÉRIQUES. nS 



formules ne peuvent varier que par la valeur des angles, 

 qui varient en même -temps que l'arc change la position 

 de sa courbure : ce qui devient e'vident en supposant la 

 de'composition du polygone en triangles. 



14. Soit donc A A' A" A'" un polygone, forme' par des ^'F^^i''- 

 arcs convexes ; son aire aura pour valeur ( § 11): 



X — 4 — a — a— a" — a'" + P.d + P.'d' + P.'d" + P.'V" ( 8 ). 



Mais si l'arc AmA!"^ dont le pôle est P, change sur la 

 sphère le sens de sa courbu^re , de manière à prendre la 

 position de A /«'A", son pôle étant en ir; l'aire du polygone 

 se trouvera e'videmment augmente'e de l'aire du double 

 onglet A m A" m, qui a pour valeur (§5): 



a A A"' = 4 — àp — 2iP-^ •■ 



il faudra donc ajouter cette dernière quantité à la valeur 

 de X; et, par cette addition, trois termes varieront seu- 

 lement dans, la valeur de X; c'est l'angle au pôle P avec 

 les deux angles entre les pôles a et a"', qui ont subi vm 

 changement , en même -temps que l'arc AjjiA" changeait 

 le sens de sa courbe. Or, 2. — 2,p — a = 3 — PA% — 

 PAP'== — a, c'est-à-dire, le supple'ment de P'Atc, qui est l'an- 

 gle entre les pôles : cet angle a sera négatif, comme on peut 

 le voir, quand l'angle P'Att, qui renferme l'arc convexe, sera 

 plus petit que deux droits, et positif dans le cas contrai- 

 re : c'est-à-dire , lorsque a serait l'excès de l'angle entre les 

 pôles sur deux angles droits. Par la même raison 2 — 2.p — 

 «'"= — «"', qui est le supplément de l'angle entre les pô- 



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