DES SECTIONS CONIQUES. i35 



_ d (î — g') . 



^ l+^'.COS.'^ 



Cette e'quation représente non seulement la branche a' Ba^ 

 mais encore deux autres parfaitement égales qui se dévelop- 

 pent à la suite selon agbAb'a'^ et la courbe se ferme au 

 point a ; comme si l'on déroulait trois enveloppes successi- 

 ves qui couvriraient le cône. En général , quand n sera 

 un nombre entier , il y aura autant de branches que d'unités 



dans n; mais si n est une fraction de la forme— 5 alors la 



courbe ne se ferme pas au point a après une seule révo- 

 lution, et continue à se développer dans le même ordre : 

 elle fait autant de fois le tour de la circonférence qu'il y a 

 d'unités dans g^ et offre autant de branches qu'il y en a dans 

 p ; mais si l'une de ces quantités p on g est incommensura- 

 ble, la courbe ne se ferme plus (i). 



La courbe la plus simple que représente l'équation (12), 

 après l'ellipse , est celle qu'on obtient en faisant re = 2 , ce qui 

 revient à considérer la section elliptiqvie faite sur un cône dont 

 l'angle au centre est le f d'un angle droit. Le dévelojDpement 

 de la surface du cône offre une courbe du quatrième degré, 

 dont l'équation est , a étant le demi-axe de l'ellipse qui sert 

 de base, et e l'excentricité de cette même ellipse : 



(i) On m'a montré depuis peu un travail de M"^. Smith sur la recher- 

 che de cette même équation; tout en rendant justice à l'habileté de 

 ce géomètre , je ne puis m'empêcher de dire que ses calculs sont ex- 

 cessivement longs , et qu'il n'en a pu rien conclure sinon la forme des 

 développeniens de ces surfaces ; cela lient uniquement , comme le calcul 

 le prouve d'ailleurs , à ce que M"'. Smith ne paraît pas avoir eu con- 

 naissance du principe démontré au paragraphe 5. 



