i38 SUR UNE NOUVELLE THÉORIE 



Ainsi, quand dans l'équation (12) p devient infini, c^est^ 

 à-dire, quand le cône devient un cylindre, la courbe qui 

 d'abord était algébrique devient transcendent». Ce passage 

 d'un état à un autre est fort remarquable; on peut faire 

 les mêmes observations par rapport à la circonférence, car 

 soit a = ^^2 le côté du quarré inscrit , le rayon étant pris 

 pour unité , on voit évidemment que sa valeur dépend 

 d'une équation du second degré : d'après les formules 

 connues aurait pour valeur du côté de l'octogone régulier 



\/ 2— i/^; et cette valeur dépendrait d'une équation du 4™^- 

 degré : pour le côté du polygone régu.lier de 16 côtés, on aurait 



\/ 2 — 1^2 \/^ et sa valeur sei^ait racine d'une équation du 



huitième degré ; en continuant les mêmes raisonnemens , on 

 verrait , sans peine , que , pour le polygone de n côtés , la 



valeur du côté serait racine d'une équation du degré - ; mais 



en continuant à multiplier les côtés , les contours des polygo- 

 nes s'approchent de plus en plus de la circonférence ; et on a, 

 pour dernière limite , la circonférence même , en supposant 

 les côtés infiniment multipliés : la circonférence alors est une 

 courbe, qui n'appartient plus à la classe des polygones, car 

 le nombre de ses parties élémentaires étant infiniment grand , 

 en le divisant successivement par deux , on ne pourra ja- 

 mais revenir à un polygone d'un nombre de côtés fini : la 

 valeur de la circonférence dépend donc d'un produit 

 dont un des facteurs est racine d'une équation qui peut 

 être considérée comme n'étant plus algébrique, c'est une 

 incommensurable d'un autre ordre ; ce qui revient à ce que 

 dit M. Legendre dans les excellentes Notes de sa Géomé- 

 trie. Comme dans le cercle on ne peut construire aucune 



