i4o SUR UNE NOUVELLE THÉORIE 



droite O' F , abaissée du centre du cercle B A , perpendicu- 

 lairement au grand axe AB" de la parabole, et le point F 

 sera le foyer ; quant à la valeur A F du quart du paramètre , 

 les triangles SO'A et AO'F étant semblables, on a 



XÔ 



SA:AO' :: AO' : AF = A O. -==- = AO. sinip....(i5), 



o A 



et en faisant 2 A F = p et 2 AO' = q^ 



p = g- sin j p. 



Mais le rapport de p a q est constant; on voit donc que 

 si l'origine de la parabole reste sur la droite SA', le foyer 

 doit rester sur la droite SFl; et par suite , si la droite S l 

 tourne autour de l'axe S O' sous un même angle , elle engen- 

 drera un nouveau cône, tel que toute parabole construite 

 sur le cône S AB' ne peut avoir son foyer que sur sa surface. 

 Ainsi le lieu des foyers de toutes les paraboles quon peut cons- 

 truire sur un cône droit est la surface d'un autre cône droit. 



l'j. Supposons maintenant que la surface du cône ait été 

 aplanie par le procédé, que nous avons déjà suivi; tous les 

 rayons vecteurs tels que Sw, menés du sommet du cône à 

 la parabole laisseront entre eux un intervalle égal et se trou- 

 veront distribués sur une surface plane , que je dis être une 

 parabole. En effet, les abscisses, telles que Am, n'auront pas 

 varié dans ce mouvement général , puisque A B" est parallèle 

 à SB'. Le point A sera encore l'origine, le point ï, se pla- 

 çant en S , sera le foyer ; et enfin l'équation demeurera 



c est la quart du paramètre ; l'équation en coordonnées rec- 

 tangulaires serait 



