i44 SUR UNE NOUVELLE THÉORIE 



2C 



P — I + COS. /a <^^^)- 



« est encore, comme au paragraphe i3, le rapport de 

 SA : AO'. En découpant selon le côté du cône SB', on aurait 



2.C 



^ I — cos. n ^. 



Quand dans l'une de ces équations on fait « = 2 , on a 

 une courbe du quatrième degré. Au reste , le degré de l'é- 

 quation dépend encore du rapport n. 



21. Quand on passe à l'hyperbole, il se présente d'abord 

 une difficulté, qui tient à ce que le second axe devient ima- 

 ginaire. On dira peut-être qu'il est tout aussi réel que celui 

 de l'ellipse , puisqu'il n'est que le coefficient d'une imagi- 

 naire : cela est vrai quand l'hyperbole est donnée par son 

 équation , mais la difficulté subsiste lorsqu'on considère l'hy- 

 perbole immédiatement sur le cône. Il faudra donc com- 

 mencer par examiner les relations, qui existent entre les 

 ellipses et les hyperboles sur un même cône. Afin de pou- 

 voir construire géométriquement ce second axe , et détermi- 

 ner par-là la propriété des foyers. 



De la nature de l'équation des sections coniques il résulte 

 que si l'on considère une ellipse et une hyperbole dont 

 les axes sont les mêmes , et qu'on superpose les axes , l'el- 

 lipse se trouvera comprise dans les limites entre lesquelles 

 l'hyperbole devient imaginaire (i), et réciproquement l'hyper- 



(i) Biot, Essais de Géométrie analytique, par. i86. 



