i88 SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS 



autres sont opposées par le sommet : toute cette remarque est 

 importante. 



3o. Le théorème (19) transcrit littéralement convient à la 

 sphéri-focale comme à la focale. Ceci n'a pas besoin de démons- 

 tration ; mais il est important de le faire observer, puisque c'est 

 ce théorème qui va être employé. 



Sans Figure. 3 1 _ Preiions Ic nœud n" pour sommet d'un nouveau système 

 de projections stéréographiques et projetons la sphéri-focale 

 sur le plan correspondant à ce nouveau sommet , tous les 

 cercles qui passent par Ji" se projetteront évidemment suivant 

 des droites, et par conséquent les quatre régions R, R',/', /' se 

 projetteront suivant des angles. Soient maintenant K et K' les 

 cercles qui forment ces quatre régions, ces cercles étant tan- 

 gens à la sphéri - focale en Ji" , seront projetés suivant des 

 tangentes à la projection de la sphéri-focale ; mais le point 

 de contact 7i" des cercles avec la sphéri-focale se projette 

 évidemment à l'infini , donc les deux projections de ces cercles 

 ne touchent la projection de la courbe qu'à l'infini ; ainsi 

 1° cette projection a deux asymptotes rectilignes. 



Sa. Si l'on inscrit à la sphéri-focale un hexagone, composé 

 d'arcs de cercles passant par le nœud n" , les côtés de cet 

 hexagone se couperont deux à deux en trois points, qui seront 

 avec le nœud n" sur une même circonférence (3o et 19). 

 Observant que les six cercles se projettent suivant six droites, 

 ainsi que le système qui contient leurs intersections, nous 

 en conclurons que dans la projection de la sphéri - focale , 

 l'hexagone rectiligne inscrit jouit de cette propriété : que ses 

 côtés opposés se coupent deux à deux suivant trois points , 

 lesquels sont en ligne droite : donc cette nouvelle projection 



