28 ESQUISSE D'UNE MÉTHODE INVERSE 



de ses points au point le plus bas. Commençons par la Tautochrone. 

 en nous bornant à la considérer dans le vide. 



Fleure V. Soit AGDE cette courbe ; D , le point d'où le corps commence à 

 descendre ;_/ , l'arc AD; et .r, l'abscisse correspondante AB. Soit de 

 plus l'arc variable AG, qui est toujours < ou :=r AD, = j^', et l'abs- 

 cisse AF , qui est également < ou ^ x , = x sin. -r,. Soit aussi t le 

 temps de la chute le long de l'arc qu'on considère comme total , DA ; 

 et comme ce temps doit être constamment le même pour chaque 

 autre arc total de la même courbe , se terminant au point le plus bas A, 

 on aura t = const. Et cette condition suffit pour en déduire l'équa- 

 tion de la tautochrone. 



Or y étant une fonction de a:, si x devient = x sin. -n , c'est-à-dire , 

 s'il reçoit l'incrément xsin. yi — .a;, ou le décrément x — xsin. vi 

 = ^ (i — sin, ï)^, on aura, en nommant j' ce que devient alors jr, 



r'=r—x fi —Sin. ïi) -^ -\ ^^ — -r4 ^^ 5-^^ ttt + etc., 



J J ^ ^ Ax 1.2 Ax 1.2.3 Ax^ 



d'où en ne faisant varier que vi , 



dy' = .rT^d-/i cos.t\ — x^ ^^ii — sin,y^à.r\cos.-ti-\ ■t~t(ï — sin.-i^''à.-t\cos,t\ — etc.; 



' Ax d.^" ^ ' 2 Ax' ^ 



ou nommant i — sin. -n^^g ., 



- , 1 /dy d='r q^x" d'r ^ \ 



àj =-xàq (^- qx^ + 'i^ d^ -^^V 



Or t' exprimant le temps par un arc quelconque DG , et p étant le 

 module d'accélération , ou la vitesse que la pesanteur communique à 

 un corps, pendant la première seconde de sa chute, on a 



àt' = -Tr 7" "^ • — n = ~rr^ — ■^• I^o"c 



