3o ESQUISSE D'UNE MÉTHODE INVERSE 



Il faut alors que Vx-y- = y'c , ou plutôt, nommant s l'arc AD 

 que nous avons nommé jusqu'ici j, et laissant cette dernière varia- 

 ble pour représenter les ordonnées BD, il faut que d^ = V/(dj' + dx") 



âxV/ c ,,< 1 |/c — x . (c — x^ àx {- c — x]<lx 



= -r? ; d ou ûy = - — -r-, ax = \-r-, , = -^ , + 



yx "^ yx y [ex — xx) \/ [ex — xx) 



\ cAx ^ 1 y, \ /" T càx , 



.— r r, et r= h, + v{cx — xx] + / -r-, : , n étant une 



y [ex — xx) '^ ' J [/[ex — xx) 



constante arbitraire. Or cette dernière quantité exprime un arc de 

 cercle AM , dont l'abscisse AB ^ x, le diamètre AC = c ; d'ailleurs 

 l/(car — xx) est l'ordonnée BM correspondante à ce même arc ; ainsi 

 en plaçant l'origine de notre courbe à ce point A , nous aurons /z = o, 

 et elle est une cjcloïde AGE , dans laquelle , comme on sait , la partie de 

 l'ordonnée qui est hors du cercle , savoir MD, est toujours égale à 

 l'arc correspondant AM du même cercle. Or si on substitue, dans 



l'équation - série O, la valeur primitive -j- ^ — , on verra chacun des 



termes suivans donner successivement un résultat constant. Doue la 

 cycloïde est réellement tautochrone. 



20. Mais , sans nous en tenir à cette simple induction , nous démon- 

 trerons a priori que , dès qu'un de ces termes est constant , tous les 

 suivans le sont également. Il suffit évidemment, pour cela, de faire 

 voir que si le terme général ci-dessus de l'ordre x est tel , le suivant 

 de l'ordre X + i le devient nécessairement. Différentions donc ce pre- 

 mier terme en faisant abstraction des coefficiens constans qui l'ac- 

 compagnent ; c'est - à - dire , en ne considérant que l'équation .... 



\/x.x — - =c,ou — — = ex , et nous aurons — 



d*-'' dx^ dx''+' " 



_ (> — i) cx-^^+^^ = — ^^Zilf , ou x"" ^x ^ / =r const. 



