DES FORMULES INTÉGRALES DEFINIES. 3i 



Ainsi toute équation qui rendra un des termes de cette suite égal à 

 une constante, satisfera immanquablement à tout le reste de la suite. 



21. Réunissons maintenant les deux premiers termes , et voyons ce 

 qui résultera de l'équation du second ordre 



vx -r- — ^ xVx -r-^ = const., OU .r-r*- = 0-1 1-7 — 



dx ' dx^ dx' dx y X 



Nous aurons , en la différentiant , et réduisant , 



d'r dr" c i, > x'd^r 



x-r-^= 2-^ -i rzr- ; dou r = 



iix^ dx 2.x y X <Xx' 



d'r , odr c dV r^T o ^ 



mettant pour x- — sa valeur 6^ -r-; — , x -r—r = '^■j- — J ,/ ■ 



^ dx^ dx [/ x^ Ax^ dx 2|/ X 



d' r 

 Il faudroit donc, pour que le terme suivant, x'V^x -7-7 , et conse- 



quemment, pour que tout le reste de la série fût constant, que -y- fîit 



== _ — 1 ; c'est-à-dire, que l'équation du premier ordre eût lieu. Cette 



même équation, qui, comme nous avons vu , est celle de la cy- 

 cloïde ordinaire, est donc la seule qui satisfasse à la condition du* 

 tautochronisme dans le vide , la seule du moins qu'on puisse obte- 

 nir par cette méthode d'intégration. Car il est possible que cette 

 courbe ne soit qu'un cas particulier d'une formule infiniment générale, 

 qui donneroit l'intégration directe et complète de l'équation-série O. 



22. Quant aux autres espèces de courbes, dont j'ai parlé au com- 

 mencement de l'article 19 , il suffira, pour les déterminer , de donner 

 au temps t la valeur convenable à la condition qu'il s'agit de rem- 

 plir. Qu'on demande, par exemple, la courbe dont la propriété est 

 telle que le mobile qui la parcourt librement, en vertu de sa seule 

 pesanteur , arrive toujours au point le plus bas , dans des temps 

 qui soient', à ceux qu'il emploieroit , à tomber de la même hau- 



