42 PROPRIETE GENERALE DES ELLIPSES 



que le point i, ou k qui est le même, se trouve au milieu 

 de la ligne FG ; et conse'quemment CK , partageant ainsi FG 

 en deux parties e'gales, sera un demi- diamètre de l'ellipse 

 exte'rieure AKDN ; et de plus, la tangente de cette même el- 

 lipse en K sera parallèle à cette même ligne FG , qui est en 

 même temps tangente de la courbe cherchée. Maintenant la 

 position de ce point K e'tant entièrement indéterminée, on 

 voit clairement que cette dernière courbe a chacune de ses 

 tangentes parallèle à celle correspondante de l'ellipse exté- 

 rieure-, qui se trouve placée avec elle sur une même ligne 

 tirée du centre C de cette même ellipse à sa circonférence. 

 Ainsi les deux triangles ou secteurs infiniment petits KCL, 

 kCO , seront toujours semblables ; et on aura par-tout CK : 

 Ck = CL : CO , et continuant de même , de proche en pro- 

 che , on en conclura enfin CK : Ck = CD : CE = C A : CB. 

 Menant donc des points quelconques K et k , le premier pris 

 sur l'ellipse extérieure, et le second sur la courbe cherchée, 

 les deux ordonnées KV , kS , et remarquant que KV : kS = 

 CK : Ck = CA : CB = 2CA : aCB = AN : BM ; et égale- 

 ment , que KV : kS = AV : BS , à cause de CK : Ck = CA : CB, 

 d'où il résulte nécessairement que les deux lignes , me- 

 nées du point K à celui A , et du point k à celui B , seroient 

 parallèles entr' elles , et conséquemment les triangles SkB, 

 VKA semblables, on conclura que AN : BM = AV : BS, ou 

 AN : AV = BM : BS , et AN — AV : BM — BS, ou NV : 

 MS == AN : BM. On a donc enfin les deux proportions 



KV : kS = AV ; BS 



KV : kS = NV : MS. 



Donc, en multipliant terme à terme, KV^ES°=AV x NV: 

 BS X MS. Or, par la nature de l'ellipse extérieure, on a 



