5o PROPRIETE GENERALE DES ELLIPSES 



FAf , AbP , PFD , seront toujours dans le rapport du grand 

 axe au petit, chacun respectivement avec le segment circu- 

 laire GAg, QaA, LGQ , qui lui correspond dans le même 

 ordre. En effet, les segmens PFDCO, QGLCO, aussi bien 

 que les trapèzes PDCO , QLCO, étant dans le rapport men- 

 tionné, en soustrayant chacun de ces derniers de son seg- 

 ment correspondant, les restes y seront aussi. La proposition 

 est également vraie au sujet des deux segmens AbP , AaQ , qui 

 n'étant que les différences AbPO — APO, et AaQO — AQO, 

 sont nécessairement entr'eux dans le même rapport que les 

 segmens AbPO, ^aQO, et les deux triangles APO , AQO. 



Quant au troisième segment FAf, la proposition est moins 

 évidente ; mais elle le devient , si on observe d'abord que 

 les deux lignes Ff , Gg, se coupent nécessairement en E dans 

 celle AB. En effet, supposons que le point E soit seulement 

 celui où la ligne Ff rencontre cette même ligne, elle déter- 

 minera, en même temps, la position des points g et k, dans 

 l'ordonnée fk parallèle à celle FK; et tellement que FK: fk 

 = GK : gk. Or , FK : fk = KE : kE ; donc aussi GK : gk 

 = KE : kE. Ainsi la ligne Gg forme aussi , dans ce point E , 

 deux angles opposés au sommet GEK, gEk ; et le point E 

 est le sommet de l'angle formé par les deux lignes ou cordes 

 Ff, Gg. Nous en conclurons donc que les segmens AbPFK, 

 Afgk , étant également , à ceux AaQGK , Agk , comme CD à 

 CL, aussi bien que les tiiangles EFK, Efk à ceux EGK,Egk, 

 il en sera de même de AbPFK — EFK + Afgk + Efk 

 (= AbPFEfA), relativement à AaQGK — EGK + Agk + Egk 

 ( = AaQGEgA). Donc, en général, tout segment elliptique, 

 formé par un arc et sa corde, est au segment circulaire de 

 même nature , qui répond à une même portion du petit axe 

 AB, dans le même rapport du grand axe au petit ; et consé- 



