56 PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE DES ELLIPSES 



Figure V. i6. Il me reste encore à prouver que le cône ACB étant 

 tel que je viens de le déterminer, et LDN l'hyperbole for- 

 mée par la section parallèle au plan vertical ACB passant 

 par l'axe même du cône , les asymptotes de cette hyperbole 

 seront les deux côtés AC, BC, de ce cône; ce qui peut s'ef- 

 fectuer de trois manières : 



Figure IV. i». En faisant, dans l'équation de la section LDN, CO=^a 

 = o; ce qui ramène le sommet D de cette section sur celui 

 même G du cône , et réduit cette équation a j- = mx , qui est 

 celle à la ligne droite, ou au côté analogue à CB, qui termine 

 la section verticale, passant par l'axe, parallèlement au plan 

 de l'hyperbole ; lequel se trouvant être la limite de toutes les 

 hyperboles semblables, et conséquemment renfermées entre 

 les mêmes asymptotes , est nécessairement lui - même une 

 de ces deux asymptotes , dans lesquelles cette limite va se 

 perdre ; 



Figure V- 2.^. Pour le prouver de la seconde manière , soit le même 

 cône ACB, mais tourné de sorte que la section LDN soit 

 vue de face ; où il faut remarquer que tout est conforme à la 

 Figure IV. Ainsi les deux points G et R se confondent dans 

 cette nouvelle position; GO reste le demi-axe transverse ;OD 

 doit être considérée comme étant horizontale, conformément 

 à sa situation (Fig. IV) , et cnnspquemment QD et PO restent 

 de la même longueur. Donc FG est aussi nécessairement 

 égale à HD = 2OD = ojna = {p<^r constr.) 2c = axe conjugué. 

 Or , par la propriété de l'hyperbole , la tangente au sommet 

 n'est égale à l'axe conjugué que lorsqu'elle est terminée , de 

 part et d'autre , par les asymptotes ; donc , etc. 



3<>. Enfin , la troisième manière et la plus directe de le dé- 

 montrer , est de faire observer que le plan de la section LDN 



