ET DES HYPERBOLES SEMBLABLES. 67 



étant parallèle à celui ACB qui passe l'axe même du cône, 

 leur distance est toujours mesure'e par la perpendiculaire 

 constante OD à ces deux plans. Ainsi, par la propriété du 

 cercle, chaque portion NB ou LA, qui est l'excès de l'ordon- 

 née PAà la ligne droite CA, sur celle QL à l'hyperbole LDN, 

 est le troisième terme d'une proportion continue, dont le 

 terme moyen est constant , le premier allant toujours en 

 croissant. D'où il résulte évidemment que ces portions allant, 

 au contraire, toujours en décroissant à l'infini, la branche de 

 l'hyperbole s'approche de plus en plus de la ligne CA , sans 

 pouvoir l'atteindre. Donc cette ligne CA est une de ses 

 asymptotes; et il en est de même de celle CB; donc, etc. 



17. Au reste, il est facile de démontrer cette même pro- 

 priété de l'hyperbole relativement à l'angle , par une méthode 

 très-directe, en cherchant l'expression générale de tous les 

 triangles que peut former une tangente en un point quel-Pi-ANCHE m 

 conque de cette courbe avec ses deux asymptotes. En effet, ^'S^^^ ^i. 



soitCA = a,AF= b,CB=x,BB=f. Onsi y' =^-^ (x'—aj, 



la sous-tangente DI = - '~''^ ; la tangente BI = t^^^' — ^') 



X ^(a'x'+b'x'—a'');Cl = ^. De plus, la considération 

 combinée des triangles semblables CAF, CEG, et IDB, lEG 

 donne IE=^ — ^ , , , . — ^;EG= rT?—. r; doiiIG= 



x' — x[/ [x' — «")' x—\/(x^—a')' 



lix-i/ix^-a^)) ■>^^^G=ÏG-ÏB=~v^(a'x- + b^x'^a^) 

 = — = BH , par la propriété de l'hyperbole. Ensuite IH = 



BH - iB = ^-^y-^^) X ^{a^x'+b'x'-~a'). D'oii, à 



