22 ESQUISSE D'UNE MÉTHODE INVERSE 



l'équation de la courbe cherchée est Cjy = x"; comme on l'aurolt 

 trouvé par le calcul intégral ordinaire. 



i5. Proposons-nous encore l'exemple suivant, quoique du même 

 genre que le précédent , parce qu'il nous fera connoître des obsta- 

 cles qui se présenteront peut-être assez fréquemment, et qui exige- 

 ront une certaine adresse de la part de l'analyste. Qu'on demande 

 donc la courbe qui satisfait à la condition S/dx = log{i -{-?,); 

 ou en développant le premier membre conformément à notre for- 

 mule A (§ 2). 



i r + r- + — 7^—^ x4 + etc. =rl(i +?)• 



z djû 6 dx" ^ ' 



Si nous réduisons immédiatement ce second membre en série , nous 

 trouverons ^ — - V + V — etc. , dont chaque terme , après la 



substitution de ^ + A,r à ^, contiendra toutes les puissances inférieures 

 de A:i: , faisant partie de ceux qui le précèdent dans cette série , à 

 commencer par celle zéro; c'est-à-dire, par les termes qui n'en renfer- 

 ment aucune. Le coefficient de chacune de ces puissances seroit donc 

 lui-même une suite infinie : celui de A.r, par exemple, donneroit 



J= I — X + x' — x^ -h etc., qui se réduit k J = j-r-^- 



Mais on pourra éviter cet inconvénient , en commençant par substi- 

 tuer X + ^ X k i, d'où résulte 



Ax'' — x' dr . \x^-\-x^ d" y ,, - 



jrX+jAX -h ■£+ —^J^ + etC.:=.l(l +X + AX) 



àX \ -, , N , A.r 1 SX^ 1 &.X^ 



= l^,+;,)+l(,+_p_)=l(i+^) + ^.^_-^^:^+3^^3^3_etc. 



