DES FORMULES INTÉGRALES DÉFINIES. 19 



une seconde plus difficile , quoique dépendante en partie de la même 

 méthode. 



i3. Le caractère distinctif de la classe précédente consistoit en ce 

 qu'on n'y considère la propriété d'une courbe , que dans l'étendue 

 d'une certaine abscisse déterminée ; et qu'ainsi il n'y a , d^ns son 

 équation primitive; c'est-à-dire, telle que la donne notre formule 

 S^dx ■=. G, qu'une espèce de variable; savoir les coordonnées géné- 

 rales X et y. Nous allons maintenant considérer de pareilles proprié- 

 tés dans toute l'étendue de la courbe ; mais , en les rapportant cons- 

 tamment à son origine même, ceci s'éclaircira par quelques exem- 

 ples : commençons par en donner un très-simple. 



Qu'on demande la courbe A b E , dont l'aire comptée depuis le '^'S"" '^• 

 point A , soit toujours égale au tiers du rectangle sur AB et BE. Ce 

 n'est là sans doute qu'un Problème ordinaire de calcul intégral , parce 

 que, de ce premier énoncé, on peut conclure que l'élément de l'aire 

 cherchée est nécessairement aussi le tiers de celui de ce même pro- 

 duit AB X BE. Mais nous le résoudrons ici d'une manière directe , 

 sans tirer cette conséquence , afin de montrer la conformité des résul- 

 tats que donnent les deux méthodes. 



i4- La distance AB = h devient donc ici un# variable; mais comme 

 elle est parfaitement indépendante de toutes les abscisses intermé- 

 diaires Aa ='cr , nous la désignerons par Ç, et son ordonnée par u. 

 Cela posé , les conditions du Problême nous donnent Sjdx = j u Ç , 

 ou iSS/d-r = u^; c'est-à-dire, que p = Zy. Ainsi, en vertu de la for- 

 mule A (§ 2) , nous aurons .... (M) 



(1 — xY — x" ày 

 1.1 dx 



Maintenant nous sommes , à la vérité , convenus que ? et u eloient 



3E^ + 3 ''~ J_~ ^ + etc. 



