i6 ESQUISSE D'UNE MÉTHODE INVERSE 



II. H seroit sans doute intéressant de pouvoir faire aussi quel- 

 ques applications de cette méthode aux ordres plus élevés, afin de 

 connoître la forme des intégrales ultérieures. Mais, dès le second , 

 quelque moyen qu'on emploie, pour simplifier l'équation, les résul- 

 tats se compliquent tellement, qu'on ne peut espérer de parvenir à 

 l'intégrer. Je me contenterai de placer ici quelques repères, qui met- 

 tront le lecteur à même de reprendre mes opérations, s'il veut satis- 

 faire sa curiosité sur ce point. 



Ayant pris l'équation E ci-dessus (§7) jusqu'aux coefficiens diffé- 

 rentiels du second ordre -r-r, -, — j— , -7-7» inclusivement, en suppo- 



sant toujours g et i = o , j'ai commencé , afin de la simplifier encore 

 davantage , par faire h — 27 = u eX. k — ix = f , selon la méthode 

 d^Euler (i). Cette substitution a transformé la Proposée en (H) 



^H±i:£_3 + ,„ ^ + ild^d^_„4l_,Ël + ^=o dans 

 6 du dtdu 6 de du, dt 



laquelle j'ai regardé u comme étant ^, et f comme étant x, pour y 

 appliquer les formules d'intégration qui se trouvent dans le premier 

 volume de mes Mélanges mathématiques , chap. 4 du i^r Mémoire. 



Il en est résulté pour c, 1 expression rs = - g : , 



qui est en partie réelle , et en partie imaginaire. Cette expression com- 

 plique nécessairement ia valeur àe N = <i M; et M elle-même doit se 

 déterminer par une équation différentielle himodulaire (partielle à deux 

 variables indépendantes) du premier ordre , dans laquelle les coefficiens 



fie ^-^ , de — , et de M , contiennent chacun un grand nombre de 



dw ' àt 



(i) Cale, intégr. , tom. 3, lib. poster, parte i , cap. i" , sect. a , probl. 89. 



