DES FORMULES INTÉGRALES DÉFINIES. i3 



ici les mots : fonction arbitraire de. Examinons maintenant si la substi- 

 tution de cette valeur de 7 dans E, anéantira également les termes sui- 

 vans ; c'est-à-dire , si la totalité des coefficiens qui affectent chacune des 

 différentes fonctions arbitraires F^ F' , F", etc. devient égale à zéro. 



Ayant donc pris les valeurs de -j- et de -p on voit que les deux 



coefficiens de F, ainsi que ceux de F', se détruisent mutuellement, 

 comme il ne peut manquer d'arriver. Mais il n'en est pas de même de 

 ceux que fournissent, pour F\ et F", les coefficiens différentiels du 



1^ ordre -j— r , etc. Et cela suffit pour prouver que cette intégrale , prise 



y 



généralement , c'est-à-dire , en y laissant la fonction arbitraire , n'est 

 point une intégrale particulière de l'équation différentielle plurimodu- 

 laire , que forme la réunion des trois premiers ternaes avec les trois 

 suivans du 1^ ordre ; et pour conclure ultérieurement que l'équation 

 E n'est pas susceptible d'une pareille intégration générale; ce qui dé- 

 pend vraisemblablement de ce que la généralité de ces surfaces cour- 

 bes, ne peut pas, comme celle des lignes courbes, être exprimée par 

 une formule de ce genre, quoique infinie. 



9. La difficulté seroit encore bien plus grande , si au lieu de sup- 

 poser le corps en question terminé par quatre plans , il étoit renfer- 

 mé dans une certaine courbe donnée; puisqu'alors g et h se trouve- 

 roient être elles-mêmes des fonctions données de j: ; ce qui compli- 

 queroit considérablement l'expression de n, et conséquemment l'équa- 

 tion E. 



10, Mais en nous bornant à la première hypothèse, cette méthode 

 réussira du moins tant que l'expression de 7 ne contiendra que des 

 puissances positives de j et de x , dont l'exposant soit inférieur , ou 

 au plus , égal à celui de l'ordre de l'équation qu'on a intégrée. Pre- 



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