s ESQUISSE D'UNE MÉTHODE INVERSE 



4- La première application que nous ferons de cette méthode, sera 

 à un problême très-simple ; savoir , à celui de trouver toutes les courbes 

 AE, telles que AB étant = /z, l'aire définie AEB , soit pour chacune 

 d'elles = ah. 

 Planche I". Soit l'abscissc quclcouque Aa =0? , l'ordonnée correspondante ab=^. 

 Figare I. L'élément de l'aire sera = jda:, et son intégrale indéfinie sera yydx. 

 Nous représenterons donc par SjAx cette même intégrale , lorsqu'on 

 y aura exprimé qu'elle commence au point A où a7 = o, et qu'elle se 

 termine à celui B, où AB=A; et nous aurons, pour déterminer le rap- 

 port de j' à X , l'équation Sjàx^=ah. Ainsi ^^y, G=ah, et consé- 

 quemment,en vertu de la formule C ci-dessus, g étant ici ^o,....(D) 

 r — a=z J(h — -xx) 4- B{li' — 'Sx'') 4- C{li^ — 4^') + etc. , qui est l'é- 

 quation générale de toutes les courbes qui satisfont au problême. 



Supposons d-abord toutes les constantes arbitraires nulles : nous 

 aurons^ — a = o, d'où ^ = AF==a; ce qui est évident. 



Soit maintenant j^ — a-=-A{h — 2a:);ou^=a4- A {h — ajr). En faisant 

 j^ = G , quand .r = o , ce qui désigne le point A , il viendra a + A h 



= o , ou A = -"j- Donc j =z a — y (à — ^ x )== —j— ; et enfin 



hj= lax, qui est à la ligne droite AD, où x:y= h : 2a. 



Si on ajoute à la formule la constante 5, on aura j —^ a -i- A (h — 



2X) -Jf B {h? 3^'). Il résulte d'abord de là , en faisant x çX y =1 q 



en même temps, comme ci-dessus, o = a + Ah + Bh"^ ; d'où B^=. — 



a -4- Ah . A r, "■ -\' '^^^ -i -K! 1 



— ^-j- — , et ensuite y ■= — lAx -\- 3 — -rz — x • Nous pouvons donc 



déterminer A par quelque nouvelle condition. Supposons, par exem- 

 ple, que l'ordonnée au point B soit BE = 3a; nous aurons ^ = , 



et enfin y =— x", qui est à la Parabole convexe AbE. 



Si ou eût demandé qu'au même point B, y fût = 4^ > on auroit trouvé 



