SUR TROIS INTÉGRALES DÉFINIES. 13 



a? = 00 : mais l'indétermination cesse en les regardant comme les 

 limites des intégrales définies 



y^" -a.r p'^ -ax 



I dx.e COS. biV , I dx.e sin. bx 



à mesure que la quantité a décroit. Les résultats qu'on obtient par 

 cette considération juste , s'accordent avec ceux qu'on aurait en 

 supposant , 



sin. (b os) = , COS. {b co) = o. 



Le mécanisme du calcul redresse en quelque sorte ce qu'il y a 

 d'obscur, et même d'inadmissible dans ces deux équations. Car on 

 est en droit de nier que le même arc b oo puisse avoir à la fois son 

 sinus et son cosinus égaux à zéro. Les formules de réduction 



I- dx. COS. X = :;; sin. x — (m + 1) j x dx. sin. x , 



/■ n+l 1+1 ' /» n 



X dx, sin. a^ = — x cos. .r -4- (w -+-1) i x dx. cos. x, 



donnent (en supposant sin. çd = o , cos. oc = o) pour toute valeur 

 entière et positive de t; 



I x~^ (/j;. cos. a; = (1.2. g.... r— l)cos. (r-î, 

 f x~^ dx. sin. .r= (1.2.3.... r— 1) sin. (--Y 



Maintenant, si l'on remplace le produit 1.2.3 r— -1 par la fonc- 

 tion r (t) , on a des formules qui subsistent pour toute valeur po- 

 sitive de T, lesquelles s'accordent avec les formules (16) et (17). 



Dès qu'on fera des objections sur une telle conséquence, il faudra 

 reprendre le raisonnement par lequel on considère ces expressions 



