SUR TROIS INTEGRALES DEFINIES. 17 



Le nombre p., ainsi introduit, peut être pris aussi grand qu'on 

 veut : en le supposant infiniment grand, il est permis de réduire à 

 l'unité le produit 



et alors on a 



1 r(^+r) 



r(r) i^\ r(^). rfr) 

 Mais nous avons 



r(^-«-T) = 1.2J.... T— 1. T(T-t-l) (T-+-2).... (r + A'— 1) 



= r(r). r(r + l) (t + 2).... (r + ^-1); 

 r(^) = t.2.3.... ^—1; 



donc on peut remplacer l'équation précédente par celle-ci 



1 1 r(T-t-l)(r+2)....(T + ^— 1) 



(83) 



r(T) ^>y 1.2.3.... A'— 1 



Telle est la fonction de t par laquelle Elascheroni remplaçait le 

 facteur rpK dans les formules (33) et (34) : et par là il les rendait 

 applicables aux cas où l'exposant x est une fraction ou un nombre 

 fractionnaire. Par exemple, soit t = i; la formule (35) donne 



_J 1 3 s 7 2^ — 3 __, — i 



r(i) "~ ¥' T 6' 8'"" V— 2 ^''•'~^''* *" 



1. 3. S. 7.... (2^—1) ^ 1. 3. S 2^—1 1 



j/^ = 



2. 4. 6. 8.... '2fi 2. 4. 6. 8... j/^^ i/2 



Mais l'expression de tt de Wallis donne 



\/i- 



2. k. 6. 8. 10... 

 5. 7. 9. 11 



Toni. X. 



