DES FONCTIONS ARBITRAIRES EN SÉRIES. 15 
équation qui ne peut être vérifiée par aucune valeur réelle 
des quantités Pet Q ; par conséquent, l'équation [9] ne peut 
avoir que des racines réelles. 
8. Après avoir défini la fonction y, par l'équation [6], 
ce qui peut donner lieu à une infinité de cas particuliers et par 
conséquent , à une infinité de fonctions différentes ; après 
avoir formé l'équation [9], dont les racines , essentiellement 
réelles, doivent être substituées successivement dans le 
terme général de la suite SAY, ; il nous reste encore à trou- 
ver la forme de la fonction À, pour que l'égalité fx —SAy. ait 
lieu entre les limites x — l' et x — /. Cette détermination, 
d’après les propriétés que nous venons de démontrer, 
ne peut offrir aucune difficulté. En effet, il résulte de 
ces propriétés que, si on multiplie tous les termes de la 
suite SAy, par la fonction y,, et que l’on intègre ensuite 
entre les limites [' et /, le produit se réduira simplement à 
A; par conséquent, l'équation hypothétique fx—SAy,. 
nous donnera 
l l 
2. fx = À 3y:; 
d'où nous aurons, en changeant l'indice æ en », ce qui est 
indifférent , 
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[10] ASP er 
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