14 RECHERCHES 
sommet le centre de la sphere, et dont les lignes focales 
sont perpendiculaires aux plans des sections circulaires 
de ce second cône. 
En effet, un cercle tracé sur le cône polaire de la conique 
aura pour surface polaire un cône passant par cette conique, 
et dont une des lignes focales sera le diamètre de la sphère 
perpendiculaire au plan de ce cercle (6); cette droite est 
donc aussi une ligne focale du cône, qui a pour base la co- 
nique et pour sommet le centre de la sphère (10). Ainsi la 
première partie du théorème est démontrée. 
Un cercle tracé sur le cône, qui a pour base la conique et 
pour sommet le centre de la sphère; aura pour surface po- 
laire un cône semblable au cône polaire de la conique et 
semblablement placé (ainsi que nous l'avons déjà dit dans 
la démonstration du théorème 8). Or, ce cône polaire du 
cercle aura une ligne focale perpendiculaire au plan de ce 
cercle (6), le cône polaire de la conique a donc également 
une ligne focale perpendiculaire au plan de ce cercle ; ce 
qui démontre la seconde partie du théorème. 
(13) On conclut directement de ce théorème le suivant, 
qui en est la réciproque : 
La courbe polaire d'un cône du second degré est une 
conique , telle que le cône qui a cette conique pour base 
et le centre de la sphère pour sommet , a ses lignes focales 
perpendiculaires aux plans des sections circulaires du 
cône proposé , et les plans de ses sections circulaires per- 
pendiculaires aux lignes focales du cône proposé. 
