DE GÉOMÉTRIE PURE. 45 
M’, N, N', appartiennent à la sphère S , on en conclut que 
les lignes Om, On, sont respectivement proportionnelles aux 
lignes OM’, ON’; ce qui prouve que les points », n sont 
sur une sphère dont le point O est un des centres de simili- 
tude avec la sphère $. Il est clair que cette sphère a son centre 
sur la droite qui joint le point O au centre de la sphèreS, 
c’est-à-dire, sur l’axe de révolution de la surface, et qu’elle 
doit toucher cette surface > aux extrémités de cet axe, qui 
sont les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer O sur 
les plans tangens en ces points ; le théorème est donc démon- 
tré, et nous avons vu en même temps que le produit des 
perpendiculaires Om , Om’, abaissées du foyer O sur deux 
plans tangens parallèles , est constant ; mais comme les deux 
foyers sont symétriquement placés par rapport à ces deux 
plans tangens parallèles, les perpendiculaires abaissées du 
second foyer sur ces plans tangens sont réciproquement égales 
aux premières ; or, on a donc ce théorème : 
(66) Le produit des perpendiculaires abaissées des 
deux foyers d'une surface de révolution sur chaque plan 
tangent est constant. 
Comme les perpendiculaires abaissées des deux foyers sur 
chaque plan tangent, sont dans un même plan méridien, 
ces deux théorèmes comprennent les théorèmes analogues sur 
les coniques , desquels nous aurions pu , par la même raison, 
les déduire. Nous n’avons donné la démonstration précédente 
que parce qu’elle est extrêmement simple, et que la même 
marche va nous conduire à d’autres résultats nouveaux. 
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