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(67) Faisons d'abord remarquer que si la sphère S passe 
par le centre de la sphère À, la surface Z sera un parabo- 
loïde (18) qui aura pour axe de révolution le diamètre de 
la sphère S, mené par le point O. Soient M, N, les points où 
ce diamètre et une seconde droite menée arbitrairement par 
le point O rencontrent la sphère S; les plans polaires de ces 
points sont deux plans tangens au paraboloïde, perpendi- 
culaires respectivement aux deux droites OM, ON, qu'ils 
rencontrent en deux points 7, nm, dont les distances au 
point O sont égales aux valeurs inverses des distances OM, 
ON ; par conséquent les lignes On, On, sont respectivement 
proportionnelles aux lignes OM, ON ; ce qui prouve que 
les deux triangles OMN , Omn , qui ont un angle commun 
en O, sont semblables ; or, le premier est rectangle en N, 
puisque OM est un diamètre de la sphère; le second est 
donc rectangle en #7. Ainsi, le point » est sur le plan mené 
par le point »# perpendiculairement au diamètre OM, qui 
est l'axe de révolution du paraboloïde; le point » est le 
sommet de ce paraboloïde, le point est le pied de la per- 
pendiculaire abaissée du foyer O sur un plan tangent; on a 
donc ce théorème : 
Les perpendiculaires abaissées du foyer d'un parabo- 
loide de révolution sur ses plans tangens , ont leurs pieds 
sur le plan tangent au paraboloïde en son sommet. 
Suivant la remarque que nous avons faite au n° précé- 
dent, ce théorème aurait pu être déduit de la propriété 
connue de la parabole; il résulte aussi du théorème suivant. 
