8 SUR LES INTERSECTIONS 



là , que la lemniscate sphérique est une intersection de la 

 sphère et d'un cône quelconque du second degré , ayant 

 son sommet sur la sphère / 



Que les lemniscates planes étant des projections stéréo - 

 graphiques de cette espèce d'intersection, on peut consi- 

 dérer les développées des caustiques par réflexion des 

 courbes du 2^ degré comme les projections stéréographi- 

 ques de l'intersection d'un cône et d'une sphère dont la 

 surface renferme le sommet du cône. La réciproque de 

 cette proposition est également vraie. Il résulte de là , pour 

 les lemniscates , une séi'ie de théorèmes curieux ou utiles 

 pour leur construction, mais dont jenepai-lerai pas ici pour 

 ne pas trop allonger cette note. Voici pourtant comment 

 une lemniscate étant donnée , on peut se procurer une courbe 

 du second degré, dont la projection sur la sphère étant re- 

 tournée , puisse reproduire la lemniscate. 



Soit A le point lumineux : concevons A le centre d'une 

 sphère d'un rayon arbitraire , et soit CEF l'intersection de 

 cette sphère avec le plan de la lemniscate. Appelons d et d' 

 les deux extrémités du diamètre perpendiculaire au plan 

 CEF , d étant au-dessus et d' au-dessous de ce plan. Conce- 

 vons que par le point d' on mène des droites à tous les 

 points de la lemniscate , on formera un cône qui coupera la 

 sphère suivant leur courbe , laquelle sera vue stéréographi- 

 quement du point d suivant une section conique. Construi- 

 sons cette perspective, en prenant le point d pour rceil. 



D'abord le point d' se projettera en A , soit ensuite un 



