En 
Jahrg. 64. A. Kiefer. Über Kreis- und Kugelsehnen. 663 
drei Ebenen berühren, so gibt es acht solcher Kugeln, deren 
Mittelpunkte die Schnittpunkte von drei Hyperboloiden 
sind. Soll die Kugel eine Ebene berühren und durch einen 
Punkt gehen, so ist der Ort des Mittelpunktes die Durch- 
dringung eines Hyperboloids mit einer Kugel; soll die Kugel 
zwei Ebenen berühren und durch einen Punkt gehen, oder 
eine Ebene berühren und durch zwei Punkte gehen, so gibt 
es acht, beziehungsweise vier soleher Kugeln. 
Auch die Ergebnisse dieser zwei Abschnitte lassen Verallgemeine- 
rungen zu. (Anmerkung 8. 650.) 
Ferner sei darauf hingewiesen, dass, wenn bei einer Kugel durch 
einen festen Punkt im Raum irgend drei, paarweise aufeinander senk- 
recht stehende, Ebenen gelegt werden, die Summe der Inhalte der 
herausgeschnittenen Kreise konstant ist, (3 R} — D’) x; hieran lassen 
sich Betrachtungen anschliessen, die den, in den letzten zwei Ab- 
schnitten ausgeführten, analog sind. 
3. Die Betrachtungen geben noch zu einer dualen Auffassung 
Anlass. 
Es sei eine feste Kugel vom Radius AR und eine feste Ebene im 
Abstande Z7 vom Kugelmittelpunkt gewählt. Durch den Kugelmittel- 
punkt lege man eine beliebige Ebene, welche die feste Ebene in der 
Geraden g schneidet und durch g lege man die beiden Tangential- 
ebenen an die Kugel. Ist das Lot vom Kugelmittelpunkt auf die 
Gerade g gleich h und «, der Winkel zwischen den zwei Tangential- 
2 
ebenen, so ist sin ——-—; 
legt man durch den Kugelmittelpunkt die senkrechte Gerade zu der 
durch den Kugelmittelpunkt gelegten Ebene und bezeichnet den Winkel 
zwischen der senkrechten Geraden und / mit ö, so hat man 
; l u, Re, 
sin 6 = m also sin = = 7 sin 2), 
Durch den Kugelmittelpunkt seien zwei weitere Ebenen gelegt, die 
aufeinander und auf der schon durch ihn gelegten Ebene senkrecht 
stehen und durch die Schnittlinien mit der festen Ebene Tangential- 
ebenenpaare an die Kugel. Die Winkel dieser Ebenenpaare seien 
&, & und die zu ö analogen Winkel seien e, 9; dann hat man 
: 2 2 ; y R: : 
sin = nn a sin °e, sin = = 75 sin ?p, und 
2 2 2 2 + 
sinz! + sin > + sin Bu nr (sin ?d + sin °e + sin p). 
2 
Vierteljahrsschrift d. Naturf.Ges. Zürich. Jahrg. 64. 1919. “ 
